Kakva je razlika između rupe i vertikalne asimptote za racionalnu funkciju?


Odgovor 1:

Citirajući jednog od mojih srednjoškolskih nastavnika matematike:

"Nećeš podijeliti s nulom."

Ponekad je to ne-nulti broj koji je podijeljen s nulom:

40\frac{4}{0}

To znači da postoji broj koji se množi s

00

rezultirat će u

44

, (Besmislica!)

Ponekad je nula podijeljena s nulom:

00\frac{0}{0}

Hmmm. To znači da postoji (jednina) broj koji se dijeli s

00

rezultirat će u

00

, Isprva pocrvenilo, student bi mogao pomisliti da je broj

00

, od god

0×0=00\times0=0

, No, drugi učenik, sjećajući se da će bilo koji broj podijeljen sam po sebi, biti jednak 1, pa tvrde da je vrijednost udjela jednaka 1

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Sada razmotrimo racionalnu funkciju s njezinim brojačima i nazivnicima koji su sve uzet u obzir.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

U našoj gornjoj racionalnoj funkciji postoje ograničenja u domeni

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

I vertikalne asimptote i rupe na grafu predstavljene su ograničenjima na domeni. Ta ograničenja nastaju kada vrijednost iznosi

xx

bio bi to pokušaj podjele

00

,

Pokazaće se da dvije od tih ograničenja predstavljaju

xx

-koordina rupa u grafikonu, ostale dvije će biti okomite asimptote.

Želim započeti pronalaženjem pametnih oblika 1 i razdvajajući ih od faktora koji se ne podudaraju:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

Pametni oblici 1, uvijek su jednaki, osim ako su brojnik i nazivnik jednaki 0. The

xx

-koordinate rupa su 2 i -4.

Okomite asimptote pojavljuju se na svim ostalim ograničenim vrijednostima x koje nisu x-koordinate rupa. U mom primjeru to su

x=9x=9

i

x=8x=-8

,


Odgovor 2:

Grafikon racionalne funkcije je kontinuiran, gdje god je definiran. Rupa je točka u kojoj funkcija nije definirana.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ima rupu na

x=2x=2

,

Ako uzmemo u obzir

x2x-2

odozgo i odozdo, dobivamo

y=x+2y=x+2

,

Njegov graf je ravna linija

y=x+2y=x+2

ali poanta

(2,4)(2,4)

nedostaje u grafikonu (jer nikad nije definiran za

x=2x=2

).

Vertikalna asimptota nastaje kada nazivnik teži nuli.

npr. za

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

nije definirano na

x=0x=0

, Ali, ako pogledate grafikon,

yy

sklon je

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ovdje,

x=0x=0

(Y-Axis) naziva se vertikalna asimptota.

Općenito,

1xa\frac{1}{x-a}

ima vertikalnu asimptotu

x=ax=a

,

Okomita asimptota je okomita crta nacrtana na mjestu oko kojeg teži funkcija

±\pm \infty

,

Rupa je točka gdje se graf 'lomi'.


Odgovor 3:

Grafikon racionalne funkcije je kontinuiran, gdje god je definiran. Rupa je točka u kojoj funkcija nije definirana.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ima rupu na

x=2x=2

,

Ako uzmemo u obzir

x2x-2

odozgo i odozdo, dobivamo

y=x+2y=x+2

,

Njegov graf je ravna linija

y=x+2y=x+2

ali poanta

(2,4)(2,4)

nedostaje u grafikonu (jer nikad nije definiran za

x=2x=2

).

Vertikalna asimptota nastaje kada nazivnik teži nuli.

npr. za

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

nije definirano na

x=0x=0

, Ali, ako pogledate grafikon,

yy

sklon je

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ovdje,

x=0x=0

(Y-Axis) naziva se vertikalna asimptota.

Općenito,

1xa\frac{1}{x-a}

ima vertikalnu asimptotu

x=ax=a

,

Okomita asimptota je okomita crta nacrtana na mjestu oko kojeg teži funkcija

±\pm \infty

,

Rupa je točka gdje se graf 'lomi'.


Odgovor 4:

Grafikon racionalne funkcije je kontinuiran, gdje god je definiran. Rupa je točka u kojoj funkcija nije definirana.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

ima rupu na

x=2x=2

,

Ako uzmemo u obzir

x2x-2

odozgo i odozdo, dobivamo

y=x+2y=x+2

,

Njegov graf je ravna linija

y=x+2y=x+2

ali poanta

(2,4)(2,4)

nedostaje u grafikonu (jer nikad nije definiran za

x=2x=2

).

Vertikalna asimptota nastaje kada nazivnik teži nuli.

npr. za

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

nije definirano na

x=0x=0

, Ali, ako pogledate grafikon,

yy

sklon je

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ovdje,

x=0x=0

(Y-Axis) naziva se vertikalna asimptota.

Općenito,

1xa\frac{1}{x-a}

ima vertikalnu asimptotu

x=ax=a

,

Okomita asimptota je okomita crta nacrtana na mjestu oko kojeg teži funkcija

±\pm \infty

,

Rupa je točka gdje se graf 'lomi'.