Analiza konačnih elemenata: koja je razlika između elemenata prvog reda i drugog reda?


Odgovor 1:

Wasfi Zakaria pružio je izvrstan opis pristupa koji razlikuje elemente prvog reda od drugog reda.

U elementima se uvodi suptilna složenost kako postaju viši red.

Pogledajmo trokut u stvarnom prostoru.

Kanonska oblika oblika u stvarnim koordinatama za element linearnog trokuta je:

P = a + bx + cy (3 parametra i 3 čvora)

i

dP / dx = b ili naprezanje u smjeru x može y linearno varirati.

dP / dy = c ili naprezanje u smjeru y može linearno varirati u x.

Funkcija kanonskog oblika u stvarnim koordinatama za bilinear (drugi red) trokuta je:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 parametara i 6 čvorova)

i

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

I opet imamo simetrična naprezanje ponašanja.

A sada pogledajmo linearni kvadratni element:

P = a + bx + cy + dxy (četiri parametra, četiri čvora)

i

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Imajte na umu da postoji asimetrija u d / dx i d / dy naprezanju polja.

Sada pogledajmo element bikkadratnog serendipity-a (osam čvorova):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (osam parametara, osam čvorova)

a polja deformacije mogu se odrediti pomoću

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

i opet zatezna polja nisu simetrična.

Dakle, elementi trokuta (i tetraedarski elementi i 3D) imaju simetrična polja naprezanja (i prema tome naprezanja), dok četveronožni elementi serendipiteta nemaju.

Zašto je to važno?

Pogledajmo čisto polje konstantnog pomaka (stalno rastezanje). Svi će elementi pokazati samo pojavu stalnog naprezanja i svi se ponašaju podjednako dobro.

Pogledava linearno naprezanje preko presjeka (kao što se kaže u čistom savijanju). linearni trokut je konstantno naprezanje i tako se podudara sa stvarnim naprezanjem kao skup funkcija koraka i konvergira se vrlo sporo. Za određene probleme (plastičnost) ti se elementi zaključavaju i ispravno navode, konvergencijsko ponašanje je neobično. međutim, bilinearni elementi mogu eksplicitno predstavljati linearno promjenjivo polje naprezanja u x ili y i elementi se odmah konvergiraju za jedan element.

A sada pogledajmo polja pomaka višeg reda, recimo kubno polje pomjeranja koje daje kvadratna polja naprezanja (savijanje pod krajnjim opterećenjem). Bilinearni trokut odgovara polju pomicanja sa skupom kvadratnih polja, a konvergencija je relativna brza. Kao što je pametno, varijacija polja deformacije može se simetrično prikazati preko elementa i dobro se ponašati. Pogledajmo quad elemente. Oni će alos preslikati polje pomicanja kao skup kvadratnih pomičnih polja i prilično se brzo konvergirati. Međutim, sada postoje komponente deformacije drugog reda i one mogu potaknuti pojmove drugog reda u izvedbi funkcija oblika. I kako polje pomjeranja postaje sve ozbiljnije i složenije, polja deformacija višeg reda postaju sve uzbuđenija. Rezultat mogu biti oscilirajuća naprezanja (a samim tim i naponi), vidi dolje.

preuzeto iz:

Strukturna analiza metodom konačnih elemenata. Linearna statika

O tome se više raspravlja u:

Najmanji kvadrati naprežu glatko za element naprezanja u ravnini serendipity s osam čvorova

i

Postupci konačnih elemenata

i

Strukturna analiza metodom konačnih elemenata. Linearna statika

Izglađivanje kvadrata iznad elementa (ravna linija u ovom slučaju) vrlo je učinkovito rješenje ovog izazova.

Udarac:

1) četverokutnici / pravokutnici konvergiraju se brže od trokuta / tetraedra

2) bilinearni se elementi konvergiraju mnogo brže nego linearni elementi

3) bilinearni (ili langranganski ili ...) četverokutnici / pravokutnici podložni su oscilacijama parazitskih napona

4) najmanje kvadratno postavljanje zateznih / naponskih polja iznad elementa vrlo je učinkovito za smanjenje ove oscilacije


Odgovor 2:

Nakon diskretizacije u FEA, svim elementima je dodijeljena funkcija (polinom) koja bi se koristila za predstavljanje ponašanja elementa. Polinomne jednadžbe su za to povoljnije jer se mogu lako razlikovati i integrirati. Redoslijed elementa jednak je redoslijedu polinomne jednadžbe koji se koristi za predstavljanje elementa.

Linearni element ili element prvog reda imat će čvorove samo na uglovima. To je nešto poput kubne građevine u središtu ruba.

Međutim, element drugog reda ili kvadratni element imat će središnje bočne čvorove pored čvorova na uglu (rub + tijelo + lice u središtu kubične strukture).

Linearni element u gornjem dijagramu jasno ima dva čvora po rubu i stoga mu je potrebna samo linearna jednadžba koja će prikazivati ​​ponašanje elemenata.

Međutim, kvadratnom elementu potrebna je kvadratna jednadžba da bi opisao svoje ponašanje jer ima tri čvora.

Za elemente u kojima želite zabilježiti zakrivljenost, preferiraju se polinomi višeg reda. Elementi prvog reda ne mogu zabilježiti zakrivljenost.

Redoslijed elementa nema nikakve veze s geometrijom. Na donjem dijagramu, za isti se trokut može izvršiti prvi red kao i drugi diskretizacija, ali drugi red ima dobre šanse za snimanje zakrivljenosti.

Da biste precizno zabilježili složene zakrivljenosti, potrebni su polinomi vrlo visokog reda, ali oni dolaze po cijenu produljenog računanja. Stoga je bolje trgovati između stupnja točnosti i vremena računanja.

Sada, neka govori o broju čvorova između elemenata prvog i drugog reda. Na broj čvorova stiže Pascalov trokut.

Slijede za trokut. Za prvi red, broj pojmova je 1, a broj čvorova mora biti 1.

Za linearni (polinom prvog reda), broj pojmova je 3 što predstavlja broj čvorova koji mora biti 3.

Za kvadratni (polinom drugog reda), broj pojmova je 6 što je broj čvorova = 6.

Sada u slučaju kvadrata moramo trg uzeti kao dodatak dvaju trokuta. Rezultati za prvi red, linearni i kvadratni su sljedeći:


Odgovor 3:

Elementi prvog reda uglavnom se sastoje od kombinacije linija (znači konstrukcija FOE je upravljana linearnim defrencijalnim jednadžbama ili defencijalnim jednadžbama prvog reda), tj. Trokut, tat element. Oni se najbolje ponašaju dok se bave geometrijski pristranim oblicima poput savršenog kvadrata, pravokutnika itd. Oni na željenom teritoriju imaju manje čvorove.

Elementi drugog reda sastavljeni su od krivulja i zakrivljenih linija (što znači da je izgradnja DP-a upravljana defencijalnim jednadžbama drugog reda) imaju tendenciju prikazivanja veće količine točnosti na geometrijski pristranom, kao i vrlo zamršenih ili kompliciranih geometrijskih elemenata tijekom izvođenja FEA


Odgovor 4:

to je polinomska funkcija koja opisuje element, u stvari, jer elementi prvog reda imaju funkciju poput: P (x) = a * x + b

a za elemente drugog reda funkcija je nešto poput: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

na gornjoj slici prvi su elementi elemenata prvog reda, dok su elementi drugog reda u drugom redu.

PS: možete vidjeti parabolični oblik elemenata drugog reda, to je ono što vam elementi prvog reda ne mogu dati.